d/dx Türev Konu Anlatımı
YKS AYT'de türev konusunu temelden kapsamlı şekilde öğrenin
📖 Bu Rehberde Öğrenecekleriniz
- Türev Tanımı: Limit ile türev kavramı
- Temel Kurallar: Türev alma kuralları
- Türev Formülleri: Temel fonksiyonların türevleri
- Türev Teknikleri: Çarpım, bölüm, zincir kuralı
- İleri Teknikler: İmplicit, logaritmik türev
- Türev Uygulamaları: Ekstremum, çizim
- Fizik Uygulamaları: Hız, ivme, optimizasyon
- Sınav Stratejileri: YKS AYT için özel teknikler
📐 Türev Tanımı ve Geometrik Anlam
📏 Türev Tanımı
📋 Limit Tanımı
f'(x) = lim[h→0] [f(x+h) - f(x)] / h
Bu limit var ise f(x) fonksiyonu x noktasında türevlenebilir
🎯 Geometrik Anlam
- f'(x), eğriye x noktasındaki teğetin eğimi
- Teğet doğrusu denklemi: y - y₀ = f'(x₀)(x - x₀)
- Pozitif türev: artan fonksiyon
- Negatif türev: azalan fonksiyon
⚡ Fiziksel Anlam
- s(t)'nin türevi = anlık hız v(t)
- v(t)'nin türevi = anlık ivme a(t)
- Değişim hızını ölçer
- Optimizasyon problemlerinde kritik
📊 Türevlenebilirlik Koşulları
✅ Türevlenebilir İse
- Fonksiyon süreklidir
- Sağ ve sol türev eşittir
- Teğet doğrusu vardır
- Pürüzsüz eğridir
❌ Türevlenemez İse
- Süreksizlik var
- Köşe/sivri nokta
- Dikey teğet
- Sağ/sol türev farklı
🔍 Örnekler
- |x| x=0'da türevlenemez
- x^(1/3) x=0'da türevlenemez
- x² her noktada türevlenebilir
- sin x her noktada türevlenebilir
⚙️ Temel Türev Kuralları
🔧 Temel Kurallar
📊 Temel Fonksiyonların Türevleri
🔢 Cebirsel Fonksiyonlar
(x^n)' = n·x^(n-1)
(√x)' = 1/(2√x)
(1/x)' = -1/x²
(x^(1/n))' = (1/n)·x^(1/n-1)
📐 Trigonometrik Fonksiyonlar
(sin x)' = cos x
(cos x)' = -sin x
(tan x)' = sec²x = 1/cos²x
(cot x)' = -csc²x = -1/sin²x
🌀 Üstel ve Logaritmik
(e^x)' = e^x
(a^x)' = a^x · ln a
(ln x)' = 1/x
(log_a x)' = 1/(x·ln a)
🔄 Ters Trigonometrik
(arcsin x)' = 1/√(1-x²)
(arccos x)' = -1/√(1-x²)
(arctan x)' = 1/(1+x²)
(arccot x)' = -1/(1+x²)
🔗 İleri Türev Teknikleri
✖️ Çarpım Kuralı
📋 Formül
(f · g)' = f' · g + f · g'
"İlk türevi × İkinci + İlk × İkinci türevi"
💡 Örnek Çözüm
Soru: (x² · sin x)' = ?
Çözüm:
f = x², g = sin x
f' = 2x, g' = cos x
(x² · sin x)' = 2x · sin x + x² · cos x
Sonuç: x(2 sin x + x cos x)
➗ Bölüm Kuralı
📋 Formül
(f/g)' = (f'·g - f·g') / g²
"Türev üst × alt - üst × türev alt / alt kare"
💡 Örnek Çözüm
Soru: (x²/(x+1))' = ?
Çözüm:
f = x², g = x+1
f' = 2x, g' = 1
= (2x·(x+1) - x²·1) / (x+1)²
= (2x² + 2x - x²) / (x+1)²
Sonuç: (x² + 2x) / (x+1)²
🔗 Zincir Kuralı
📋 Formül
[f(g(x))]' = f'(g(x)) · g'(x)
"Dış fonksiyonun türevi × İç fonksiyonun türevi"
🎯 Adımlar
- İç fonksiyonu belirle: g(x)
- Dış fonksiyonu belirle: f(u)
- Dış türevi hesapla: f'(u)
- İç türevi hesapla: g'(x)
- Çarp: f'(g(x)) · g'(x)
💡 Örnek
sin(x²)' = ?
İç: g(x) = x²
Dış: f(u) = sin u
f'(u) = cos u
g'(x) = 2x
Sonuç: cos(x²) · 2x
🎓 İleri Seviye Türev Teknikleri
🔍 İmplicit (Örtük) Türev
📋 Yöntem
- Denklemin her iki tarafının da x'e göre türevini al
- dy/dx = y' olarak göster
- y' içeren terimleri bir tarafa topla
- dy/dx'i yalnız bırak
💡 Örnek Çözüm
Soru: x² + y² = 25 için dy/dx = ?
Çözüm:
d/dx(x² + y²) = d/dx(25)
2x + 2y·(dy/dx) = 0
2y·(dy/dx) = -2x
Sonuç: dy/dx = -x/y
📊 Logaritmik Türev
📋 Kullanım Alanları
- Çarpım/bölüm içeren karmaşık fonksiyonlar
- x^x, (sin x)^x gibi değişken üslü fonksiyonlar
- Çok faktörlü fonksiyonların türevleri
- Üstel fonksiyonların türevleri
🎯 Yöntem
- ln(y) = ln(f(x)) yaz
- Her iki tarafın türevini al
- y'/y = [ln(f(x))]' elde et
- y' = y · [ln(f(x))]' bul
💡 Örnek
y = x^x için y' = ?
ln y = ln(x^x) = x ln x
y'/y = ln x + x·(1/x)
y'/y = ln x + 1
y' = x^x(ln x + 1)
📈 Türev Uygulamaları
📊 Fonksiyon Analizi
📈 Artan/Azalan Analizi
- f'(x) > 0: Fonksiyon artan
- f'(x) < 0: Fonksiyon azalan
- f'(x) = 0: Kritik nokta
- Ekstremum: Maksimum/minimum
🎯 Kritik Nokta Analizi
- f'(x) = 0 denklemini çöz
- f'(x) tanımsız olduğu noktalar
- İkinci türev testi uygula
- İşaret tablosu oluştur
🔍 İkinci Türev Testi
f''(x) > 0
Konkav (Minimum)
f''(x) < 0
Konveks (Maksimum)
f''(x) = 0
Büküm Noktası
⚡ Fizik Uygulamaları
🎯 YKS AYT Sınav Stratejileri
⚡ Türev Sorularında Başarı
📚 Öncelik Sırası
- Temel türev formüllerini ezberle
- Çarpım/bölüm kuralını ustalaş
- Zincir kuralını pratik yap
- Uygulama sorularına odaklan
⏰ Zaman Dağılımı
- Basit türev: 1-2 dk
- Zincir kuralı: 2-3 dk
- Çarpım/bölüm: 3-4 dk
- Uygulama: 4-5 dk
🎯 Sık Çıkan Konular
- Trigonometrik fonksiyon türevleri
- Üstel/logaritmik türevler
- Çarpım kuralı uygulamaları
- Kritik nokta bulma
🚫 Yaygın Hatalar
- Zincir kuralını unutma
- İşaret hatası yapma
- Formül karıştırma
- Sadeleştirme hatası
📝 Örnek Sorular ve Çözümler
🔥 Soru 1: Zincir Kuralı
f(x) = sin(3x² + 2x) fonksiyonunun türevini bulunuz.
✅ Çözüm:
İç fonksiyon: u = 3x² + 2x
Dış fonksiyon: sin u
du/dx = 6x + 2
d/dx[sin u] = cos u
f'(x) = cos(3x² + 2x) · (6x + 2)
🔥 Soru 2: Çarpım Kuralı
g(x) = x³ · e^x fonksiyonunun türevini bulunuz.
✅ Çözüm:
f = x³, g = e^x
f' = 3x², g' = e^x
(f·g)' = f'·g + f·g'
= 3x²·e^x + x³·e^x
g'(x) = e^x(3x² + x³) = x²e^x(3 + x)
🔥 Soru 3: Kritik Nokta
f(x) = x³ - 3x² + 2 fonksiyonunun kritik noktalarını bulunuz.
✅ Çözüm:
f'(x) = 3x² - 6x
Kritik nokta: f'(x) = 0
3x² - 6x = 0
3x(x - 2) = 0
x = 0 veya x = 2
📈 Çalışma Programı
🎯 4 Haftalık Türev Programı
📅 1. Hafta: Temeller
- Türev tanımı ve geometrik anlam
- Temel türev formülleri
- Basit polinom türevleri
- Günlük 20 soru
📅 2. Hafta: Kurallar
- Çarpım ve bölüm kuralı
- Zincir kuralı
- Trigonometrik türevler
- Günlük 25 soru
📅 3. Hafta: İleri Seviye
- İmplicit türev
- Logaritmik türev
- Yüksek mertebe türevler
- Günlük 30 soru
📅 4. Hafta: Uygulamalar
- Kritik nokta analizi
- Fonksiyon çizimi
- Fizik uygulamaları
- Günlük 35 soru
🎓 Sonuç
Türev, AYT matematik sınavının en önemli ve en çok soru çıkan konularından biridir. Bu rehberde öğrendiğiniz tüm teknikleri sistematik olarak çalışın. Formülleri ezberleyin, kuralları uygulayın ve bol bol pratik yapın. Türevde uzmanlaştıkça, matematik başarınız katlanarak artacaktır!
📊 Hedeflenen Başarı
🎯 Doğruluk Oranı
%90+
⏱️ Ortalama Süre
2.5 dk
📈 Net Artışı
8-10 net
Kazım İncebacak
Sınav Başarı Uzmanı
Size özel hazırlanmış çalışma programları ile hedeflediğiniz sınavda başarıya ulaşın.
Danışmanlık için İletişim